Во сколько раз увеличится энергия колебаний математического маятника, если его длину уменьшить в 4 раза, а амплитуду увеличить в 3 раза?
Энергия механических колебаний складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии в поле тяжести. Полная механическая энергия в процессе колебаний остаётся постоянной. В положении равновесия скорость колеблющейся точки максимальна и вместе с ней максимальна и кинетическая энергия; потенциальная энергия при этом равна нулю. В положении максимального отклонения скорость маятника равна нулю. Значит, кинетическая энергия в этих положениях равна нулю, а потенциальная энергия максимальна. Из этих рассуждений получаются два важных вывода:
1) период изменения кинетической и потенциальной энергий в колебательном движении равен половине периода колебаний;
2) полная энергия колебаний равна амплитудному значению или потенциальной, или кинетической энергии.
В данной задаче выразим кинетическую энергию движения маятника:
.Скорость равна производной координаты по времени. Пусть координата от времени меняется по закону: 
. Тогда:
.Снова можно говорить, что всё, что стоит перед знаком тригонометрической функции, равно амплитудному значению. Максимальная кинетическая энергия равна
.Частота колебаний математического маятника 
. Энергия колебаний тогда будет
.Масса маятника не изменялась. Отношение энергий равно
.Ответ: энергия увеличилась в 36 раз.