Почвоведение: системный подход

Решение

1.  В любой произвольной точке на серединном перпендикуляре электрическое поле создаётся двумя источниками. Чтобы найти напряжённость результирующего поля, необходимо найти векторную сумму напряжённостей двух полей. Каждый вектор напряжённости направлен вдоль прямой, соединяющей точку наблюдения и заряд. Поскольку оба заряда одноимённые, то векторы будут или оба вверх, или оба вниз. Будем считать, для определённости, что оба заряда положительные. Сумма двух векторов геометрически изображается диагональю параллелограмма, в котором сторонами являются слагаемые векторы.

Расстояния от точки наблюдения до зарядов одинаковы, следовательно, одинаковы по модулю должны быть векторы напряжённости от обоих зарядов. В этом случае вектор суммы этих напряжённостей будет перпендикулярен прямой, соединяющей заряды. Полученная фигура является ромбом. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Это свойство можно использовать для вычисления вектора напряжённости . Из рисунка видно, что половина длины этого вектора есть катет, прилежащий к углу , причём гипотенуза равна модулю вектора :

Каждый из векторов  определяется законом Кулона:

По теореме Пифагора . Кроме этого,  можно выразить из геометрических соображений, используя для этого также расстояния  и :

Для результирующей напряжённости окончательно получаем:

Если оба заряда будут отрицательные, то способ решения задачи не изменится. Каждый вектор  будет направлен вниз вдоль прямой, соединяющей точку наблюдения и заряд. По модулю векторы будут равны, и вектор  будет перпендикулярен прямой, соединяющей заряды, и направлен вниз. Модуль результирующей напряжённости не изменится, и ответ в этом случае также будет прежним. 

2.  Пусть теперь один заряд будет положительным, а другой – отрицательным. Для положительного заряда вектор напряжённости направлен от заряда, а для отрицательного – к заряду. Модули векторов будут равны, потому что расстояния от зарядов до точки наблюдения одинаковы. Построив по правилу параллелограмма сумму векторов, получим, что вектор  будет параллелен прямой, соединяющей заряды. Модуль  можно найти, используя свойство диагоналей ромба. Обозначим  угол между стороной ромба и диагональю. Из рисунка видно, что между прямой, соединяющей заряды, и направлением на точку наблюдения угол также будет равен . По свойству диагоналей ромба:

По определению, косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе:

По закону Кулона:

Окончательно для результирующей напряжённости получим:

Рассмотрим частный случай. Пусть точка наблюдения находится на прямой, соединяющей заряды (). Легко понять, что если заряды одинаковы по модулю и по знаку, то в этой точке напряжённость должна быть равна нулю – векторы  направлены горизонтально в противоположные стороны и равны по модулю. Как видно из первого пункта задачи, при  результирующая напряжённость действительно равна нулю. Если же заряды противоположны по знаку, то оба вектора будут направлены вдоль одной прямой в одну сторону, результирующая напряжённость будет в два раза больше напряжённости от одного заряда. Подставим  в уравнение:

Как и должно быть по закону Кулона. 

Ответ: ;

             .