Лестница длиной 
м приставлена к гладкой стене под углом к полу 
. Коэффициент трения между лестницей и полом равен 0,3. На какую высоту 
может подняться по лестнице человек массы 
кг, прежде чем лестница начнёт скользить? Массой лестницы пренебречь.
На систему лестница-человек действует несколько сил:
1) сила тяжести 
, обусловленная массой человека, приложена в точке, отстоящей от пола на расстояние ;
2) силы реакции пола и стены, направлены перпендикулярно той поверхности, со стороны которой приложены; приложены в точках контакта лестницы с поверхностями;
3) сила трения 
между лестницей и полом, направленная вдоль пола влево.
Направление силы трения определяется из следующих соображений – лестница до определённого значения высоты остаётся в покое. Это означает одновременное выполнение двух условий:
1) сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю;
2) сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
Действующая вертикально вниз сила тяжести компенсируется силой реакции пола. Сила реакции со стороны стены направлена вправо. Она также должна компенсироваться в случае равновесия. Поэтому сила трения направлена влево, вдоль поверхности.
В данной задаче оказывается возможным, выбирая ось вращения, сделать равными нулю сразу два момента сил – силы трения и силы реакции пола 
. Относительно оси вращения 
необходимо найти моменты силы тяжести и силы реакции стены. Плечо силы тяжести – катет, прилежащий к углу 
, причём катет, противолежащий углу , равен высоте . Момент силы тяжести равен произведению модуля силы на плечо силы:
.Аналогично для силы реакции 
. Плечо этой силы – кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения. Это расстояние равно длине катета, противолежащего углу , причём гипотенуза равна длине лестницы 
. Тогда момент силы :
.Из последних двух уравнений видно, что момент силы не изменяется в процессе подъёма человека вверх по лестнице. Момент силы тяжести, наоборот, пропорционален высоте подъёма. На некоторой высоте эти моменты станут равны друг другу и равновесие нарушится.
Как видно из рисунка, сила тяжести стремится повернуть лестницу против часовой стрелки. Если момент силы тяжести станет больше, чем момент силы , лестница начнёт соскальзывать вниз.
Значит, высота, на которую может подняться человек, определяется условием равенства моментов сил:
.В полученном уравнении неизвестна сила 
. Эта сила в состоянии равновесия должна быть равна силе трения 
. Сила трения (в данном случае трения покоя) по закону Кулона–Амонтона связана с силой реакции 
уравнением 
, где 
– коэффициент трения. В свою очередь, сила в состоянии равновесия должна быть равна силе тяжести. Составим уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси 
и 
:
.Из этих уравнений и следуют все соотношения сил. Тогда для силы можно записать:
.Уравнение моментов принимает вид:
.Подставив числовые значения, получим ответ.
Ответ: высота, на которую может подняться человек, равна 1,8 м.