Маленький шарик соскальзывает с верхней точки гладкой сферы радиуса 
. В нижней точке сфера закреплена на горизонтальной поверхности. На какой высоте шарик оторвётся от поверхности сферы?
Вначале следует установить, что означает, что шарик оторвался от поверхности. В результате отрыва сила реакции опоры, действующая на шарик, обратится в ноль.
Составим уравнение второго закона Ньютона для шарика. Систему отсчёта связываем с Землёй. Шарик движется по дуге окружности, поэтому одну из осей координат удобно выбрать вдоль центростремительного ускорения. В проекциях на эту ось уравнение движения будет иметь вид:
 . |
. Геометрически угол, входящий в уравнение движения, и искомая высота связаны простым соотношением – как видно из рисунка, прилежащий к углу 
катет равен 
, а гипотенуза равна :
.
В двух уравнениях содержится три неизвестных. Чтобы решить эту систему, необходимо составить ещё одно уравнение, содержащее высоту, на которую опустился шарик, и скорость шарика в момент отрыва. Поскольку поверхность, по которой движется шарик, гладкая, то возможно использовать закон сохранения механической энергии. Будем отсчитывать потенциальную энергию от той точки, где происходит отрыв от поверхности. Тогда в самой верхней точке у шарика была только потенциальная энергия, а в точке отрыва от сферы – только кинетическая. Приравняем эти величины:
.Тогда получается система уравнений:
.Подставим в первое уравнение значение 
из второго уравнения и значение квадрата скорости из первого:
.От верхней точки сферы высота, на которой шарик оторвётся от поверхности, равна одной трети радиуса. От основания сферы эта высота, очевидно, равна 
.