Бруску в самой нижней точке наклонной плоскости сообщили некоторую начальную скорость. Время подъема бруска оказалось в два раза меньше времени спуска. Найти коэффициент трения бруска о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30°.
Сделаем пояснительный рисунок. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз. Сила реакции опоры 
перпендикулярна наклонной плоскости, сила трения 
направлена вдоль плоскости. Направление силы трения всегда противоположно относительной скорости движения, поэтому при движении бруска вверх сила трения направлена вниз вдоль плоскости, а при движении вниз – сила трения направлена вверх. Систему отсчёта связываем с землёй, одну из осей координат направим вдоль плоскости вверх, вторую – перпендикулярно плоскости вверх. Оси координат можно выбирать произвольно.
В качестве самостоятельного задания можно решить задачу, выбрав одну ось горизонтально, а вторую вертикально. Ответ в любом случае должен быть один и тот же.
Рассмотрим вначале движение вверх. Силы в этом случае изображены на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде: 
. Проекция силы реакции опоры на ось 
равна нулю, на ось 
– модулю этой силы. Проекция сил трения на ось равна модулю этой силы, а на ось – нулю. Чтобы найти проекции силы тяжести, выполним дополнительный рисунок.
На этом рисунке длина пунктирного отрезка, параллельного оси , взятая со знаком минус, равна проекции вектора 
на наклонную плоскость. Этот отрезок представляет собой в построенном прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 
. Значит 
. Аналогично проекция на ось будет равна длине пунктирного отрезка, параллельного оси , который представляет собой прилежащий к углу катет. Значит, 
.
Тогда в проекциях на оси координат получим:
.При этом учтено, что в направлении, перпендикулярном плоскости, движения нет, и ускорение направлено вдоль плоскости вниз. К полученным уравнениям нужно присоединить закон Кулона–Амонтона: 
. С учётом этого первое уравнение перепишем в виде 
, выразив далее силу нормальной реакции опоры из второго уравнения, получим:
.Аналогично рассмотрим движение вниз. Уравнение в векторном виде не изменится. А в уравнениях для проекций изменится только знак проекции силы трения.
Повторив все рассуждения, получим для ускорения: 
.
Расстояния, пройденные вверх и вниз, одинаковы. При движении вниз начальная скорость равна нулю: 
. При движении вверх расстояние 
, при этом конечная скорость равна нулю, поэтому
.Приравнивая расстояния, получим
.Поделим числитель и знаменатель на 
:
.В результате для коэффициента трения получаем 
.
Ответ: коэффициент трения равен 0,35.